Il biliardo di Turing: una pallina che calcola come un computer

Il biliardo della sala giochi Oasis di Giugliano (NA), dove ho passato gli anni ’90, aveva il panno verde liso in un angolo e una sponda, quella lunga vicino alla porta, che restituiva la palla sempre un po’ storta. Chi arrivava da fuori tirava come si fa su un tavolo normale e sbagliava. Noi aficionados, invece, avevamo imparato a usare quel difetto: miravi un filo più a sinistra e lasciavi che la sponda facesse il resto. In pratica quella sponda “sapeva” qualcosa, e passava il suo sapere a ogni palla che la toccava.

Ci ho ripensato leggendo il lavoro di 2 matematici, Eva Miranda del Politecnico della Catalogna e Isaac Ramos del Politecnico federale di Zurigo. Hanno spinto quell’idea fino in fondo: hanno disegnato un biliardo con sponde piene di curve e angoli studiati al millimetro, e hanno dimostrato che su quel tavolo una sola pallina, rimbalzando, può fare tutti i calcoli che fa un computer. Lo studio è uscito su PNAS, una delle riviste scientifiche più autorevoli al mondo e l’ho trovato una figata.

Certo, detto così sembra uno scherzo da professori. Ma vi assicuro che mi ha catturato come farebbe una serie Netflix per un millennial. Proviamo a capirlo passo per passo, perché dietro c’è una delle idee più belle della matematica, e alla fine anche una domanda che riguarda il cielo sopra le nostre teste.

Il biliardo, un gioco semplice, che diventa il più semplice del mondo

Partiamo dalla regola del biliardo, che conoscete già anche senza averci mai giocato. Una pallina lanciata sul tavolo va dritta finché non incontra una sponda, poi rimbalza con lo stesso angolo con cui è arrivata. Succede la stessa cosa alla luce di una torcia puntata contro uno specchio, o a un pallone che calciate contro un muro in cortile.

Il biliardo dei matematici è ancora più semplice di quello del bar. Non esiste attrito, quindi la pallina non rallenta mai, e non esistono gli effetti che danno i campioni con la stecca. C’è solo una pallina che corre e sbatte, per sempre. Fine delle regole.

Tutta la magia sta nella forma del tavolo. Pensate a un carillon, quello con il cilindretto di metallo pieno di piccole punte: il cilindro gira sempre allo stesso modo, e la canzone che sentite dipende solo da dove sono piantate le punte. Nel biliardo di Miranda e Ramos le sponde fanno lo stesso lavoro delle punte, perché decidono quale “musica” suonerà la pallina rimbalzando.

La macchina di Turing, spiegata con un quaderno a quadretti

Per capire che tipo di musica suona questo biliardo bisogna tornare al 1936, quando il monumentale matematico inglese Alan Turing, di cui abbiamo ricordato l’eredità a 70 anni dalla morte, si chiese cosa voglia dire, in fondo, “calcolare”. La sua risposta fu una macchina immaginaria, fatta con pochissimi pezzi.

Immaginate un bambino seduto davanti a un quaderno a quadretti lunghissimo, così lungo da non finire mai. Ha una matita con la gomma e un foglietto di istruzioni che deve seguire alla lettera, senza pensare. Le istruzioni sono banali, del tipo: “se nel quadretto c’è una croce, cancellala, disegna un cerchio e spostati di un quadretto a destra”. Il bambino legge, scrive, si sposta e ricomincia.

Ogni singolo passo è stupido. Messi in fila a milioni, però, quei passi stupidi fanno girare i videogiochi, o calcolano le previsioni del tempo, perché ogni programma che usate, a guardarlo da vicinissimo, si riduce a questo gioco di leggere e scrivere segni. Turing (uno che nel tempo libero si costruiva perfino un apparecchio per cifrare la voce) fece anche un passo in più.

Descrisse una macchina “universale”: un bambino col quaderno che, ricevuto il foglietto di istruzioni di un altro bambino, sa comportarsi esattamente come lui. Un po’ come un attore bravo, che con il copione giusto diventa chiunque. Il vostro telefono funziona così: è una macchina sola, e a seconda dell’app che aprite fa la calcolatrice o la fotocamera.

Come si trasforma un biliardo in un computer

Miranda e Ramos hanno preso “il bambino col quaderno” della mia metafora, e lo hanno tradotto in geometria. Il punto del tavolo in cui si trova la pallina corrisponde a quello che c’è scritto sul quaderno in quel momento. La forma delle sponde fa da foglietto di istruzioni, perché decide dove la pallina andrà dopo, e ogni rimbalzo vale un passo del calcolo.

Se vi aiuta, pensate a una ferrovia vista dall’alto. Il treno non decide niente, segue i binari; eppure la rete di scambi può farlo arrivare in mille stazioni diverse a seconda di dove parte. Sul tavolo le sponde sono gli scambi, e la pallina è il treno che non sceglie mai. Chi disegna le sponde scrive il programma.

Visto dall’alto, un biliardo del genere somiglia a un labirinto tracciato da un bambino distratto, pieno di angoli e archi che sembrano messi a caso. “Il programma è la forma delle sponde”, spiega Miranda, “e l’algoritmo è, letteralmente, la traiettoria”.

Perché basta una pallina sola

Che i biliardi potessero calcolare si sospettava da tempo, ma i modelli precedenti avevano bisogno di aiuti: tante palline che si urtano tra loro, oppure tavoli in 3 dimensioni con sponde che si muovono. Nel 1990 il fisico Cristopher Moore aveva perfino ipotizzato che un tavolo piatto con una sola pallina fosse troppo povero per farcela. Miranda e Ramos gli hanno tolto ogni appoggio, e hanno scoperto che invece basta e avanza.

C’è anche un retroscena che mi piace. Nello stesso mese in cui lavoravano al biliardo, un altro gruppo di ricerca ha dimostrato la stessa cosa per il flipper, e Miranda racconta che la delusione è durata 5 minuti. Poi ha capito che le levette del flipper, l’unica parte “viva” della macchina, quella mossa dalla mano del giocatore, si potevano semplicemente togliere. Via il giocatore e via i pezzi mobili: il calcolo resta lì, nella forma del tavolo.

Mi colpisce l’accostamento con quello che succede nel resto del settore. Da anni si spendono miliardi per costruire computer quantistici sempre più complicati, tenuti a temperature più fredde dello spazio profondo. Intanto 2 matematici ci ricordano che la capacità di calcolare abita nella forma delle cose, prima ancora che nella materia di cui sono fatte.

La domanda a cui nessun biliardo sa rispondere

Il biliardo di Miranda e Ramos eredita dai computer anche un difetto antico, scoperto sempre da Turing. Vi sarà capitato di fissare la rotellina che gira sullo schermo chiedendovi se aspettare ancora o spegnere tutto. A volte la risposta si intuisce: un aggiornamento prima o poi finisce, una foto prima o poi si carica.

Turing però dimostrò una cosa spiazzante. Può esistere un trucco per rispondere caso per caso, ma nessuno potrà mai inventare un metodo unico che dica, per qualunque programma, se prima o poi si fermerà. I matematici lo chiamano “problema della fermata”, ed è un limite della logica stessa: nessun computer più potente lo supererà, per quanti soldi ci mettiate.

Nel biliardo succede così. Se il calcolo arriva alla fine, la pallina colpisce una sponda perfettamente dritta, a 90 gradi, e torna indietro sulla stessa strada, come un pallone calciato dritto contro il muro che vi ritorna tra i piedi. Se il calcolo continua all’infinito, la pallina gira per l’eternità senza ripassare mai dallo stesso percorso. Chiedersi “prima o poi tornerà indietro?” equivale alla domanda di Turing, e quindi nessuna formula universale potrà rispondere.

Allora lo costruiamo? Sarà dura

Per funzionare, il tavolo dovrebbe custodire le informazioni in dettagli delle sponde sempre più minuscoli. Pensate a una matrioska senza fondo: dentro ogni curva ce n’è una più piccola, e dentro quella un’altra ancora, più sottile di un capello e poi di un atomo. Nessun falegname e nessuna stampante 3D ci arriveranno mai. Il biliardo che calcola vive sulla carta, e lì resterà.

Eppure la carta conta. I biliardi matematici servono ai fisici come versione semplificata di sistemi molto più complicati: le particelle di un gas che si urtano, oppure i corpi celesti che si sfiorano, quando due stelle o due pianeti si avvicinano abbastanza da comportarsi come palline che rimbalzano. È il vecchio rompicapo dei “3 corpi”, che tormenta gli astronomi da secoli.

Da qui la domanda che Miranda lascia aperta, e che trovo la più bella di tutto lo studio: quanti pianeti servono perché la gravità si metta a calcolare, e quindi diventi imprevedibile per pura logica? Magari ne bastano 3, magari ne servono molti di più. Nessuno lo sa.

Ripenso a quella sponda storta del bar. Per anni ho dato il merito a lei per le mie vittorie, e adesso scopro che con un po’ di geometria in più quel biliardo avrebbe potuto fare i compiti di matematica al posto mio.

Magari, però, non li avrebbe finiti mai. E nessuno, neanche Turing, avrebbe potuto dirmi se valeva la pena aspettare.